Una volta, a Princeton, mentre stavo seduto nel salone, avevo sentito dei matematici parlare della serie di e^x, che è 1 + x + X² /2! + X³ /3!
Si ottiene ogni termine moltiplicando quello precedente per x, e dividendo per il numero successivo. Per proseguire la serie oltre x⁴/4!, per esempio, si moltiplica quel termine per x e si divide per 5. È semplicissimo. Da bambino mi piaceva molto giocare con le serie. Avevo calcolato e usando la serie e^x e m'ero accorto che i nuovi termini diventavano piccolissimi.
Quel giorno nel salone borbottai qualcosa su come usando quella serie fosse facile calcolare e a qualsiasi potenza: bastava sostituire x con l'esponente.
«Allora sentiamo quanto fa e alla 3,3» mi chiese qualcuno sperando di incastrarmi. Tukey, credo si chiamasse.
«Facile: fa 27,11».
Tukey sapeva che non era facile far tutti quei calcoli a mente. «Come fai a dirlo?»
«Conosci Feynman, è un imbroglione! Figurati se è giusto!» intervenne un altro.
Andarono a procurarsi una tabella, e io intanto aggiunsi altri due decimali. «27,1126,» dissi.
«Hai ragione!» L'avevano trovato. «Ma come fai?»
«Ho addizionato la serie.»
«Nessuno può riuscirci tanto in fretta. La conoscevi già. Proviamo con e al cubo.»
Protestai. «È faticoso. Non più di una serie al giorno!»
«Hai imbrogliato.» Ridevano contenti.
«Va bene. Fa 20,085.»
Mentre controllano sul libro, aggiungo qualche altro decimale. Giusto anche questa volta! Erano sbalorditi.
Eccoli folgorati, i grandi matematici del momento, perché riuscivo a calcolare e a qualsiasi potenza. «Eppure è impossibile che faccia la somma», disse uno. «Ci sarà un trucco». E poi, rivolto a me: «Non riusciresti a calcolare una cosa difficile come e alla 1,4».
È difficile, l'hai detto. Visto però che me lo chiedi tu, fa 4,05.» Mentre controllavano aggiunsi i soliti decimali dicendo «Ed è l'ultima per oggi! » e me ne andai.
In realtà, conoscevo tre numeri a memoria: il logaritmo di 10 in base e (necessario per convertire i numeri da base 10 a base e), che è 2,3026 (quindi sapevo che e alla 2,3 è vicinissimo al 10), e per via della radioattività (per il calcolo della vita media e del tempo di dimezzamento) conoscevo il logaritmo di 2 in base e, che è 0,69315 (e quindi che e alla 0,7 è quasi uguale a 2). Sapevo anche e alla 1, che è 2,71828.
Il primo numero che mi avevano dato era e elevato alla 3,3, che è uguale a e alla 2,3, che fa 10, moltiplicato per e, cioè 27,18. Mentre loro si scervellavano per capire come facessi, io correggevo quello 0,0026 in più. 2,3026 è in effetti un po' abbondante.
Sapevo che non sarei stato capace di farne un altro, c'ero riuscito per puro caso. Ma dissero e elevato alla terza: cioè e a 2,3 più e a 0,7, cioè dieci per due. Sapevo quindi che era intorno a 20, e mentre si davano da fare per capire il trucco, aggiustai a 0,693 lo 0,7.
Li avevo proprio sbalorditi, anche se era stata tutta fortuna. Ma mi hanno chiesto ancora e alla 1,4, che poi è il quadrato di e alla 0,7, e quindi mi era bastato alzare un po' il 4!
Non hanno mai capito come ci riuscissi.
A Los Alamos avevo scoperto che Hans Bethe era un campione del calcolo a mente. Una volta stavamo sostituendo dei valori numerici in una formula e siamo capitati sul quadrato di 48. Mentre tiravo fuori la calcolatrice, Bethe disse «2300», e stavo ancora pigiando sui tasti quando aggiunse: «2304 per la precisione.»
La macchina ha dato 2304. «Accidenti! Davvero notevole», dissi.
«Ma come? Non sa calcolare i quadrati dei numeri vicini a 50? Basta fare il quadrato di 50 - cioè 2500 - e sottrarre 100 volte la differenza con 50 (in questo caso 2), e fa 2300. Per maggior precisione, basta aggiungere a questo risultato il quadrato della differenza.»
Poco dopo, ci serviva la radice cubica di due e mezzo. Per estrarre una radice cubica con la calcolatrice Marchant, occorreva usare per una prima approssimazione una tavola di valori numerici. Fui costretto ad aprire il cassetto per prendere la tabella. Bethe aveva qualche secondo di vantaggio, e disse: «Fa circa 1,35»
Provai con la Marchant, era giusto. «Come ha fatto, questa volta? Ha un segreto per estrarre radici cubiche?»
«Ma no», rispose. «Il log di 2,5 è tot, un terzo di questo log è compreso tra i logaritmi di 1,3 e 1,4. Per interpolazione ne concludo che fa 1,35.»
Avevo quindi scoperto che: primo, conosceva la tavola dei logaritmi a memoria; e secondo, i calcoli aritmetici che aveva fatto a mente per la sola interpolazione mi avrebbero richiesto più tempo che cercar la tabella e schiacciare i tasti della calcolatrice. Rimasi impressionato.
Dopo di che ci provai anch'io. Mandai a memoria alcuni logaritmi, e cominciai ad accorgermi di certe cose. Per esempio, qualcuno chiede il quadrato di 28. Si sa che la radice quadrata di 2 è 1,4; 28 corrisponde a 20 per 1,4 - pertanto il quadrato di 28 dev'essere intorno a 400 per 2, cioè circa 800.
Se a qualcun altro capita di voler dividere 1 per 1,73, potete dirgli subito che il risultato è 0,577, perché vi accorgete che 1,73 è quasi la radice quadrata di 3 e che 1/1,73 deve essere un terzo della radice quadrata di 3. E se invece si vuol calcolare 1 diviso 1,75, si vede subito che è uguale all'inverso di 7/4, e siccome avete memorizzato i decimali ricorrenti per 7, direte subito 0,571428...
Ci siamo divertiti moltissimo, con Hans, a trovar sotterfugi per calcolare a mente e in fretta. Capitava di rado che io trovassi una scorciatoia che a lui fosse sfuggita, o arrivassi prima alla soluzione ma, quando accadeva, Bethe scoppiava in quella sua risata cordiale. Era praticamente capace di calcolare a mente qualsiasi cosa con un'approssimazione al centesimo. Per lui era semplice, ogni numero si trovava nei pressi di un altro che già conosceva.
Un giorno ho voluto darmi delle arie. Eravamo a colazione vicino al laboratorio, non so cosa mi abbia preso. Dichiarai che ero capace di risolvere in meno di 60 secondi, con un margine del 10% di approssimazione, qualsiasi operazione che chiunque avesse esposto in 10 secondi.
La gente cominciò a darmi operazioni presunte difficili, come integrare una funzione del tipo 1/1 + x⁴: era facile, perché quella funzione praticamente non varia nell'intervallo che mi avevano dato. Quella più difficile, e ce l'ho fatta per un pelo, fu calcolare il coefficiente binomiale di x¹⁰ nello sviluppo del binomio (1 + x)²⁰.
Tutti mi davano operazioni, io mi sentivo geniale, quando arrivò Paul Olum. Paul aveva lavorato con me a Princeton prima di Los Alamos, ed era stato sempre più brillante di me. Un giorno, giocavo sovrappensiero con quei metri metallici che vi si riavvolgono in mano schiacciando un pulsante, il metro mi colpiva regolamente la mano e cominciavo a sentire male.
«Sono proprio imbranato! Continuo a giocare con quell’affare, e ogni volta mi faccio male», avevo detto.
«Lo tieni nel modo sbagliato», aveva risposto Olum. Estratto il metro, aveva schiacciato il pulsante, e il nastro era rientrato in modo per Olum indolore.
«Come fai?»
«Indovina.»
Per due settimane mi ero aggirato per Princeton col metro, avevo la mano coperta di lividi. Infine mi ero arreso: «Paul! Hai vinto! Come fai a riavvolgerlo senza farti male?»
«Chi ha detto che non mi fa male? Fa male anche a me.» Ero rimasto con un palmo di naso. Per colpa sua mi ero esercitato, e fatto male alla mano, per due settimane.
Dunque Paul arrivò in mensa: i colleghi erano eccitatissimi: «Paul, vieni a sentire cosa fa Feynman! Gli diamo un problema che si può enunciare in dieci secondi, e in un minuto lo risolve con un approssimazione del 10%. Prova tu!»
«La tangente 10 alla cento» dice, senza neppure fermarsi a pensare.
Mi aveva fregato: bisogna dividere per pi greco con una precisione fino al centesimo decimale. Non c'era speranza.
Un'altra volta, mi ero vantato di poter trovare con metodi diversi qualsiasi integrale chiunque altro avesse calcolato con integrali di contorno. Allora Paul mi ha dato un integrale terrificante, che aveva ottenuto a partire da una funzione complessa di cui conosceva il risultato. Aveva tolto la parte reale e lasciato soltanto la parte immaginaria in modo tale da costringermi a procedere con un integrale di contorno. Mi smontava sempre così, era davvero in gamba.
La prima volta che andai in Brasile, facevo colazione fuori orario, perciò al ristorante ero sempre l'unico cliente. Un giorno, con quattro camerieri intorno, mangiavo un piatto di riso con carne (ne vado matto). Entra un giapponese che avevo incontrato, un venditore di abachi. Si mette a parlare con i camerieri e scommettendo di essere in grado di addizionare più velocemente di loro.
I camerieri non volevano perdere la faccia, e gli suggerirono di rivolgersi a quel cliente solitario, laggiù.
Protestai: «Non parlo bene il portoghese!»
«Non importa», risero i camerieri, «i numeri sono facili da capire.»
Mi portarono carta e matita.
L'ambulante chiese al cameriere di dire ad alta voce i numeri da addizionare. Ovviamente aveva la meglio lui, addizionava già mentre io stavo ancora scrivendo. Suggerii allora al cameriere di scrivere due elenchi identici di numeri, e di darceli nello stesso momento. La situazione non cambiò molto, continuavo ad esser ampiamente battuto.
Il rappresentante di abachi si era appassionato al gioco. «Multiplicaçao!» propose.
Qualcuno scrisse l'operazione e fui di nuovo sconfitto, ma di poco, perché a moltiplicare ero bravo.
A questo punto l'uomo commise un errore, propose di passare alle divisioni. Non aveva capito che più l'operazione era complessa, maggiori possibilità avevo.
Svolgemmo tutti e due una lunga divisione, e alla fine risultammo pari.
La cosa disturbò parecchio il giapponese, che nonostante la notevole dimestichezza con l'abaco veniva battuto da un qualsiasi cliente del ristorante.
«Raios cubicos!» esclamò, pregustando la vendetta. Radici cubiche! Quell'uomo voleva estrarre radici cubiche con l'aritmetica! Uno dei problemi più complessi, in aritmetica! Forse era il suo massimo exploit, con l'abaco.
Scrisse un numero su un foglio, un numero qualsiasi. Me lo ricordo ancora: 1729,30. E si mise all'opera borbottando. Lavorava come un demonio, sudava sette camicie.
Intanto io me ne stavo seduto a far niente.
«Cosa aspetta?» mi chiese un cameriere.
«Penso» risposi indicandomi la fronte con un dito. Scrissi 12, e poco dopo 12,002.
L'uomo col pallottoliere si asciugò la fronte e disse: «12!»
«Eh, no! Ci vogliono i decimali!» Sapevo che quando si estrae una radice cubica con l'aritmetica, ogni decimale è ancora più faticoso del precedente, da calcolare.
Il giapponese si tuffò sull'abaco, e ricominciò a borbottare mentre io aggiungevo altri due decimali. Alzò finalmente la testa: «12,0!»
I camerieri gongolavano: «Lo guardi! » dissero al rappresentante. «gli basta pensarci, e lei ha bisogno di un abaco! E poi, ha trovato molti decimali.»
Umiliato, il giapponese se ne andò a testa bassa, lasciando i camerieri a congratularsi l'un l'altro.
Come mai il cliente aveva battuto il campione del pallottoliere? Il numero era 1729,03. lo sapevo che un piede cubico contiene 1728 pollici, quindi il risultato doveva essere di poco superiore a 12. Rimaneva 1,03, circa due millesimi di 1728. Avevo imparato dal calcolo delle piccole frazioni che l'eccedente della radice cubica è uguale a un terzo dell'eccedente del numero stesso. Quindi mi era bastato trovare il valore della frazione 1/1728, moltiplicarlo per 4 (cioè dividere per 3 e moltiplicare per 12). Così, ero riuscito a calcolare tanti decimali.
Alcune settimane dopo il giapponese è entrato nel bar dell'albergo dove alloggiavo. Mi ha riconosciuto e mi ha chiesto: «Come ha fatto a calcolare così velocemente quella radice cubica?»
Mi misi a spiegare che era un metodo di approssimazione legato alla percentuale di errore. «Supponiamo che lei mi avesse dato 28. Ora la radice cubica di 27 è 3 ... »
Si precipita sul pallottoliere... «Oh, sì.»
Allora capii che non conosceva i numeri. Col pallottoliere non c'è bisogno di imparare a memoria tante combinazioni aritmetiche, basta saper spingere su e giù le palline. Non c'è da imparare che 9 più 7 è uguale a 16, basta sapere che per addizionare 9 si fa salire una pallina da 10 e se ne fa scendere una da 1. Nell'aritmetica di base andavo più lento, ma conoscevo i numeri.
L'idea stessa di approssimazione gli era poi del tutto estranea, anche se non esiste un metodo per calcolare con esattezza una radice cubica.
Non riuscii mai a insegnargli il mio metodo per estrarre le radici cubiche, né a spiegargli quanto ero stato fortunato quando aveva scelto 1729,03.